Hörður Áskelsson hefur verið organisti og kantor Hallgrímskirkju frá því hann lauk framhaldsnámi í Düsseldorf í Þýskalandi árið 1982. Hann hefur gegnt lykilhlutverki í uppbyggingu listalífs kirkjunnar og stóð meðal annars að stofnun Listvinafélags Hallgrímskirkju, Kirkjulistahátíðar og Alþjóðlegs orgelsumars.
Árið 1982 stofnaði hann Mótettukór Hallgrímskirkju og kammerkórinn Schola cantorum árið 1996. Með kórunum hefur hann flutt flestar helstu perlur kórbókmenntanna bæði með og án undirleiks. Þá hefur hann stjórnað frumflutningi margra verka fyrir kór og hljómsveit sem íslensk tónskáld hafa skrifað á undanförnum árum og má nefna Passíu eftir Hafliða Hallgrímsson, óratóríuna Cecilíu eftir Áskel Másson og Thor Vilhjálmsson og Fléttu eftir Hauk Tómasson.
Með kórum sínum hefur Hörður komið fram á tónlistarhátíðum víða um heim og farið tónleikaferðir, m.a. um Kanada, Þýskaland, Austurríki, Frakkland, Bretland og Norðurlöndin auk þess að taka þátt í keppnum á Ítalíu, Frakklandi og Írlandi, þ.s. kórar hans unnu til verðlauna. Hörður hefur haldið tónleika í mörgum stærstu kirkjum Evrópu bæði sem kórstjóri og organisti, m.a. í Kölnardómkirkju, Notre Dame og St. Sulpice í París og dómkirkjunum í Frankfurt, Brüssel, Helsinki o.fl.
Hörður hefur hlotið margsháttar viðurkenninga fyrir framlag sitt til tónlistarlífs á Íslandi, þ.á m. Íslensku tónlistarverðlaunin árið 2001, Riddarakross hinnar íslensku fálkaorðu árið 2004 og Íslensku bjartsýnisverðlaunin árið 2006. Þá var hann borgarlistamaður Reykjavíkur 2002.
Hörður hefur kennt orgelleik og kórstjórn við Tónskóla þjóðkirkjunnar og á árunum 1985-1995 var hann lektor í litúrgískum söngfræðum við guðfræðideild Háskóla Íslands. Hörður gegndi embætti Söngmálastjóra þjóðkirkjunnar árin 2005-2011. Hörður hlaut 6 mánaða starfslaun íslenska ríkisins 2013, sem hann nýtti m.a. til útgáfu tveggja nýrra orgeldiska og er sá fyrri „Hörður Áskelsson leikur á Klaisorgel Hallgrímskirkju“ nýkominn út.
Hörður vann til fernra gullverðluna með kór sínum, Mótettukór Hallgrímskirkju, þ.s. kórinn vann einnig Grand Prix sem besti kór keppninnar í alþjóðlegri kórakeppni í Katalóníu á Spáni í september 2014. Hefur hann setið í dómnefnd þeirrar keppni 2015 og 2016.